Download Zbirka - Vene 2 PDF

TitleZbirka - Vene 2
File Size24.1 MB
Total Pages113
Document Text Contents
Page 2

I
" I FA SI G A10IM



BOGOSLAVOV VENE

--r _ , I
' t'"{S Ie

,/

ZBIRKA
RESENIH ZADATAKA IZ ALGEBRE

za II rnzred gimnazije

1971 .
,. SAVREMENA ADMINISTRACIJA-

BEOGRAD

Page 56

60.

Zamenom ovih vrednosti za x i ~ u dati izraz, imamo

2a~= a + b.
x+ v' I+r

(0 + b + v'2)2 = 894
20b ' .

~b
61. b .

Yx
62. (Uzmi u obzir da je

x + v,.:y = Yx (Yx + vy)
x - v'xy = v'x (Yx - <y.

63.

64.

65.

x

I.

Preto je ov'a + bv'b = (Va)3 + (Yb)3; ~v'ab -=- 3b = 1
= 3Yb (Va - V b) i o _ b=(Va - Yb)(v'a+v'b), posle
ociglednib transformacija vrednost datog izraza jednaka je 3.

IS IS 5V3
Uzeti U obzir da je 3 - V3 = V3 (V:>---I) = V3 - I

Posle oCigiednih transformacia dati izraz je idencicki jedak "2 .

66. Zamenorn x = 2-1 (a + a-I) u izraz

100

Kako je po pretpostavci a ~ I,

Na isci nacin nalazimo

I
to a - - ~ 0, pa je

a

Zamenom nadenih vrednosti u dati izraz izlazi da je njegova
vrednost

a2 + b2
a2 b2 + I

67. Racionalizacijom imenioca datog izraza imarno da je

(m + n) x - V (m' - r)(x2 - n))-2 = (...;;;m)-2 = ~ . x2+mn m n
68. Zamenom

2am
x=--"'-- u izraze Va + b" i Va-bx.

b (I + m)2
nalazimo

-Va"+bx = II + mllr-a-
V J+m2

va-b"=ll-mIV a •
l+m2

Na . ?sn.ovu prt;tpostavke Iml < I to I + m
POZltlvru, te datl izraz dobije sledeci oblik:

(I + m) lr-a-I +a 2 + (l-m)V a V J+m2 1+ m2 I
(I+m)lfa

l
+
a

"-(1-m)V a VI+m l+m2
m

l-m su

(za a> 0).

69. Posle ociglednih transformacija dati izraz postaje

,," -V x" - a4
x2+Vx"-a4'

Zarnenorn vrednosti

izlazi da je vrednost

I

X = a (m" + n")2
2mn

m" datog izraza -.
n"

u dohiveni

70. y = m. 71. ~ za a > b' .!:. za
b ' a

a < b.

72. Za ,,= 2-1 (a + a-I) = + (a + :) dohija se
Vx

2
-1 = V[+(a-+JY = +Ia- : I,

izraz,

tJ· .. Vr -l = 21 (a- -al ) za a"'" I 1 < <0 9 , - a , . a

vr-l=~(:-a) za O < a < 1 iii a < -1.

101

Page 57

a OSDOVU toga je

% + V xi - I = as ako je a ;;;' I ill - I < a < 0
%- Vr -I

%+ Vr J I 0 I ill' I a =- za < a < a < -,
x-Vr - J a2

73. Posle otigJednih transformacija imamo da je

I {a -vx+~ vx
A= +J==';:

y' a + vx y' a - v% va2 - x
Brojilac se moZe napisati U obliku

Va- vx+ Va+ vx= V( Va-vx + l/a+VX)2 =

= y' 2 (a + V a2 x
za %=4 (a -l) je a2 - x=(a- 2)2,
Prema tome, A postaje

A = V2a + 2v(a-2)2
V(a- 2)2

Za a > 2 jev(a -2)2=a - 2, pa je

A = v4a -4 = 2 Va=l
a - 4 a-2

za I < a < 2 je v(a - 2)2 = - (a - 2), odakle je

A= V 2a + 2(2 - a) 2
2- a = 2-a '

3
74. v'5 '

75. Neka je Va + Vb + Va - Vb = x, pa je

x2 = 2 (a + va2 _ b) = 4 a + ~ a2 - b ,

102

Odakle

Dakle

Va+Vb+ Va Vb=2Va+Va2 - b.
, 2

Analogno

Va + Vb-va - Vb = 2 Va Va2 - b
2

(I)

(2)

Zbir (J) i (2) odnosno njihova razJika daje traZeni identitet.

76. a) V I I+4v'7=VlJ+vIT2=VlJ+ V ~12 -1 12 +

Yll - V IJ2 - 112= ,, /11 +3 _ ,,/11-3 = + 2 V 2 V 2
= v'7 + 2 = 2,64 ... + 2 = 4,64 . , .

b) V6 ~v'2 = 1,93 . ,. c) V I4 - V6 2 = 0,65, "

d) 2+V3 =3,73 .. . e) 3V3 + 2 = 7,19."

77. Za izraze u imeniocu broja A treba iskoristiti LagranZeve iden-
titete, tada se lako dobiia da je '',4 = v'2 E J,

78. Koristeei LagranZev identitet imamo

V x + 2v x - I + V x-2vx=I';" 2Vx + Vr-;4 (X-I) =

= 2 VX+V~X-2)2 =2 Vx +~- x 2.

Ovde je uzeto da he v ex - 2)2 = 2 - x, jer je na osnovu pret-
postavke x ~ 2.

103

Page 112

816. x E (- ex)' - I) U (0,6).

817. Data nejednakost ekvivalentna je nejedna&ll :

I + 3 >0
log., ax 10gB a2 x

iii

5 + 410gB X > O.
(I + 10gB x)(2 + 10gB x)

Smenom

10gB x = c iroamo
. 5

5+4c >0=:>-2 < c<--,c>-1.
(I + c)(2 + c) 4
Dakle

5 s .
- 2 < 10gB X < - - =:> a-2 < x < a - .. =:>

4

I I
=:> - <x< -. -

a2 . 1<
va'

I
10gBx > -I =:> x >- .

a

818. Data nejednakost ekvivalentna je sledeeoj:

0<x2-5x + 6 < 1

212

iii

{
x2-5X + 6>0

x2-5x+6 < 1

Prva nejednakost je zadovoljena za

x < 2 i x> 3,

a druga za

5-V 5 < x < 5 + Vs .
2 2

. r. 5 - v'5 2 5 +Vs > 3
Po~to je v S > 2 to 2 < , a 2

T ada je data nejedna~ina zadovoljena za svako x u intervalu

5-V5 <x<2 i3 <x< 5 +V5.
2 2

819. Zadatak iroa smisla za x > 0, te je data nejednaana ekvivalenma sa
loga x (x + I) < loga (2x + 6).

Kako je a > I to izlazi da je
x (x + I) < 2x + 6 iii
x2 - x - 6 < O.

Dakle ovaj trinom za x > 0 je negativan, 0 < x < 3.

213

Page 113

LITERATURA

I. H. A1l1uolto'J n. M . B61iogCKII, E. E . Hw(uiliulI, A. M. CawculI: C50PHltl<
3aJl,aQ no :meMCHnpnoli MDTCMaTlIHC, MOCl<08 1964.

2. HtJ. Anttl, A. AniMoI, CiUaM6oAotJ n:. C50pmIK OT 38A3qn no a.nrel5pa,
COIjJHSI 1958.

3. Alendor/er i Okli: Principles of Mathematics u prevodu Beograd 1966.

4. Breard C:. Mathematiques ~e. Paris J 962.

S' Breard C:. Mathematiques 2e, Paris 1969.

6. Combes A:. Exercices & Problems de Mathematqucs, Paris 1968.

7. Dolciam', Berman. Freilich: Modem algebra Structure and Method, Book J:
Boston. New-York. Atlanta. Geneva, ill. Dallas. Palo Alto.

8. B. K. Eiepe6, B. B. 3aur,etJ, E. A. KopgeucKu, T. H. MacllotJa, 11. <1>. OPJllHCI((JJf,
P. M. floJOtlCKu, r. C. PJCCOtlCKO , M. 11. CKQIIQ'U: C50PKlIK 3R,[t8.q no MaTCMI-
nrne Jt1UI KOJD<YPCJ[bIX 3}(33MeBOB 80 BT}'3b1, MOCKB3 J 969.

9. ,a. K . ctJaggectJ II M. C. COMllItCI(UU: AJIrc6pa, MocnDa 1966.
10. P. A. KaAlItlIl: A.rrre6pa II :meMCHT8pHbIe <P)'lIKIlHIl MOCKBD 1966.

It. B. A. KpelJMap: 3aA3\lHIIJ< no anre6pc. MOCJ<B8 1968.
12. E. C. KyulellKo: COOPHHl{ J(mn<),pCRblX ~l{ no MaT'C.MaTHKC. lIclbHHT'pAA

1964.

13. V. Lespinard et R. Rernel: Algcbre classe de premiere A - C - M - M.
Lyon 1961.

14. B. E. J/ugcKua, n. B. OacRuuuKOfl, A. H. TYlloilKofl, M. H. ma6yHUH: 3aAa'IH
no aneMcHT3pHOfi MaTCM3TJII(C. Mocl(oQ 1968.

15. Michel Qutysanne, Andre Reuuz: Mathematiquc tome J Paris 1969.

16. P. C. MogauotJ: C50pmD< 3llJt81.f no cnCUIm..JrbHOM KYPCY 3neMeJJT3pnoQ MaTe·
lItllTImc . MocHo8 1964.

17. E. neiUKalllJUII, C. MauoJlOl. H. MapUiullofl, K. lleiiJpofl: CtioPHHK OT 3IA&'UI
no lIt3TelltQTlmC 33 KDHJtH,[tBT - CTY,[tCHTli. C~1Ul 1965.

18. H. X. CUflaluuncKu: 38,1l,B1.fJllD< no anCMCHTapHOii MaTCMaTHXe. MOCI<Da 1966.

19. K . Y. llIaxllo: C60PHIlI( 38.,[l.8tt no :>ncMCH'J"apSOU MlTtMAnucc DOB.bDIIfBO
T'PYAHOCTII MHlICH 1965.

20. C. H. TYMQHO': Am-eISpa, MOCKBa 1966.

215

Similer Documents