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Cálculo II
Notas de Clase

Lorena Zogaib

7 de enero de 2013

Page 2

Contenido

Contenido 2

Prólogo 4

1 El Espacio� n 5

1.1 Vectores 5

1.2 Curvas paramétricas. Vector tangente a una curva paramétrica 34

1.3 Rectas en el espacio. Segmento de recta 42

1.4 Planos e hiperplanos 51

1.5 Conjuntos abiertos, cerrados, acotados, compactos, convexos 64

2 Funciones de varias variables 80

2.1 Dominio e imagen. Representación geométrica 80

2.2 Conjuntos de nivel 83

2.3 Superficies cuadráticas 86

2.4 Límites y continuidad 94

3 Diferenciación 102

3.1 Derivadas parciales. Interpretación geométrica 102

3.2 Diferenciabilidad. Linealización y diferenciales 109

3.3 Regla de la cadena 114

3.4 Diferenciación implícita 118

3.5 Vector gradiente. Derivada direccional. Recta normal yplano
tangente 123

3.6 Funciones homogéneas. Teorema de Euler 134

4 Funciones cóncavas y cuasicóncavas 142

4.1 Polinomio de Taylor de orden 2. Matriz hessiana 142

2

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Capítulo 3 Diferenciación

3.6 Funciones homogéneas. Teorema de Euler

Definición. Se dice que una funciónf(x1, x2, . . . , xn) eshomogénea de grado ksi
satisface

f(λx1, λx2, . . . , λxn) = λ
kf(x1, x2, . . . , xn), λ ∈ R+.

Ejemplos:

1. La funciónf(x) = x2 es homogénea de grado 2, ya que

f(λx) = (λx)
2
= λ2x2 = λ2f(x).

2. La funciónf(x) = x−1 es homogénea de grado−1, ya que
f(λx) = (λx)

−1
= λ−1x−1 = λ−1f(x).

3. La funciónf(x) = 2 es homogénea de grado0, ya que

f(λx) = 2 = λ0 · 2 = λ0f(x).
4. La funciónf(x) = x2 + 2x no es homogénea, ya que

f(λx) = (λx)
2
+ 2(λx) = λ2x2 + 2λx �= λkf(x).

5. La funciónf(x, y) = x2y es homogénea de grado 3, ya que

f(λx, λy) = (λx)
2
(λy) = λ3


x2y

= λ3f(x, y).

6. La funciónf(x, y) =
x3

xy + y2
es homogénea de grado 1, ya que

f(λx, λy) =
(λx)

3

(λx) (λy) + (λy)
2
=

λ3x3

λ2xy + λ2y2
= λ

x3

xy + y2
= λf(x, y).

7. La funciónf(x, y) = ex/y es homogénea de grado 0, ya que

f(λx, λy) = e(λx)/(λy) = ex/y = λ0ex/y = λ0f(x, y).

8. La funciónf(x, y) = x
3

xy+y
no es homogénea, ya que

f(λx, λy) =
(λx)

3

(λx) (λy) + (λy)
=

λ3x3

λ2xy + λy
�= λkf(x, y).

9. Las funciones de producción (utilidad) tipo Cobb-Douglas f(x, y) = xαyβ son
homogéneas de gradoα + β, ya que

f(λx, λy) = (λx)
α
(λy)

β
= λα+βxαyβ = λα+βf(x, y).

134

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3.6 Funciones homogéneas. Teorema de Euler

Si α + β > 1 se tiene rendimientos crecientes a escala, siα + β = 1 se tiene
rendimientos constantes a escala, y siα + β < 1 los rendimientos a escala son
decrecientes.

10. El logaritmo de una función de producción (utilidad) tipo Cobb-Douglas, a
saber,f(x, y) = ln


xαyβ


= α ln x+ β ln y, no es una función homogénea, ya

que

f(λx, λy) = ln
"
(λx)

α
(λy)

β
#
= (α + β) lnλ+ (α ln x+ β ln y) �= λkf(x, y).

Para entender el significado de la homogeneidad de una función, supongamos
quef(x, y) es la función de producción correspondiente a los insumos(x, y), y
preguntémonos cuál sería la nueva producción si ambos insumos se duplicaran, es
decir si fueran(2x, 2y). En ese caso:

i) Si f fuera homogénea de grado 1, entoncesf(2x, 2y) = 21f(x, y) = 2f(x, y),
es decir, la nueva producción sería el doble de la original.

ii) Si f fuera homogénea de grado 2, entoncesf(2x, 2y) = 22f(x, y) = 4f(x, y),
es decir, la nueva producción sería cuatro veces la original.

iii) Si f fuera homogénea de grado 0, entoncesf(2x, 2y) = 20f(x, y) = f(x, y),
es decir, la nueva producción sería igual a la original.

iv) Si f fuera homogénea de grado−1, entoncesf(2x, 2y) = 2−1f(x, y) =
1
2
f(x, y), es decir, la nueva producción sería la mitad de la original.

v) Si f no fuera homogénea, la nueva producción no sería un múltiplode la
original.

Teorema. Si f(x, y) es una función homogénea de gradok, entonces

f(x, y) = xkf(1, y/x),

f(x, y) = ykf(x/y, 1).

Demostración:

En el primer caso, considera que la variablex juega el papel del factorλ,
de modo quef(x, y) = f (x(1), x (y/x) ) = xkf(1, y/x). El segundo caso se
demuestra de manera similar, tomando a la variabley como el factorλ.

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ApéndiceB Teoremas de concavidad para funciones enRn

Teorema (condiciones necesarias de segundo orden)

SeaS ⊂ Rn un conjunto abierto y convexo, y seaf : S → R, conf ∈ C2(S).
Sea−→x 0 ∈ S un punto crítico def . SeaH(−→x 0) la matriz hessiana def evaluada en−→x 0. Entonces

a) f tiene un mínimo local en−→x 0
⇒ todos los menores principales deH son no negativos(≥ 0) en−→x 0,

b) f tiene un máximo local en−→x 0
⇒ todos los menores principales deH de orden impar son

no positivos(≤ 0) en−→x 0 y todos los de orden par son
no negativos(≥ 0) en−→x 0.

El valor mínimo o máximo local es un extremo global def , cuando los patrones
de signo a) y b) se satisfacen en todo el dominio def .

Nota que aquí la concavidad o convexidad def es una condición necesaria, mas
no suficiente, para un extremo local. En otras palabras, no basta con demostrar la
concavidad o convexidad de la función para garantizar la existencia de un máximo
o un mínimo.

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Bibliografía

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