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TitleMatematicas Resueltos(Soluciones) Derivadas 2º Bachillerato Opción B-COU
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Page 1

Tangentes a una curva

■ Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f' (3), f' (9) y f' (14).

f ' (3) = 0; f' (9) = ; f' (14) = 1

■ Di otros tres puntos en los que la derivada es positiva.

La derivada también es positiva en x = – 4, x = –2, x = 0…

■ Di otro punto en el que la derivada es cero.

La derivada también es cero en x = 11.

■ Di otros dos puntos en los que la derivada es negativa.

La derivada también es negativa en x = 4, x = 5…

■ Di un intervalo [a, b ] en el que se cumpla que “si x é [a, b ], entonces
f' (x) > 0”.

Por ejemplo, en el intervalo [–5, 2] se cumple que, si x é [–5, 2], entonces f ' (x) > 0.

–3
4

–5 3

3

5

y = f (x)

9 14

1

Page 2

Función derivada

■ Continúa escribiendo las razones por las cuales g (x) es una función cuyo com-
portamiento responde al de la derivada de f (x).

• En el intervalo (a, b), f (x)
es decreciente. Por tanto, su
derivada es negativa. Es lo
que le pasa a g (x) en (a, b).

• La derivada de f en b es 0:
f' (b) = 0. Y también es
g(b) = 0.

• En general:

g (x) = f' (x) = 0 donde f (x)
tiene tangente horizontal.

g (x) = f' (x) > 0 donde f (x)
es creciente.

g (x) = f' (x) < 0 donde f (x)
es decreciente.

■ Las tres gráficas de abajo, A, B y C, son las funciones derivadas de las gráficas
de arriba, 1, 2 y 3, pero en otro orden.

Explica razonadamente cuál es la de cada una.

1) B

2) A

3) C

La derivada se anula en los
puntos de tangente horizontal,
es positiva donde la función es
creciente, y es negativa donde
la función decrece.

A

1

B

2

C

3

y = f (x)

y = g(x) = f '(x)

a

b

a

b

2

Page 26

f (x + h) = x + h + 8 f (x + h) – f (x) =

= x + h + – x – = h +

= 1 + 8 f ' (x) = 1 – = 1 –

b) f (x) = 8 f ' (x) =

f (x + h) = 8 f (x + h) – f (x) = –

f ' (x) = = =

= =

= = =

33 Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones:

a) y = |x – 2|

b)y = |x2 + 6x + 8|

c) y = x + |x – 3|

d)y = x2 + |x |

☛ Mira el ejercicio resuelto 3 .

a) Definimos la función por intervalos:

f (x) =

Derivamos:

f ' (x) =

f ' (2–) ? f ' (2+) 8 No existe f ' (2)

La función es derivable en Á – {2}.

°
¢
£

f ' (2–) = –1

f ' (2+) = 1

–1 si x < 2

1 si x > 2
°
¢
£

–x + 2 si x < 2

x – 2 si x Ó 2
°
¢
£

x

√x 2 + 1
2x

2√x 2 + 1
h(2x + h)

h(√(x + h)2 + 1 + √

x 2 + 1)

lím
h 8 0

x2 + 2xh + h2 + 1 – x2 – 1

h(√(x + h)2 + 1 + √

x 2 + 1)

lím
h 8 0

(√(x + h)2 + 1)2 – (√

x 2 + 1)2

h(√(x + h)2 + 1 + √

x 2 + 1)

lím
h 8 0

√(x + h)2 + 1 – √

x2 + 1

h
lím

h 8 0

√x2 + 1√(x + h)2 + 1√(x + h)2 + 1

f (x + h) – f (x)
h

lím
h 8 0

√x2 + 1

1
x 2]1x (x + h)[límh 8 0

–1
x (x + h)

f (x + h) – f (x)
h

x – x – h
x (x + h)

1
x

1
x + h

1
x + h

26

Page 27

b) Definimos la función por intervalos. Para ello, calculamos los puntos en los que
y = 0:

x2 + 6x + 8 = 0 8 x = =

f (x) =

Derivamos:

f ' (x) =

f ' (–4–) ? f ' (–4+) 8 No existe f ' (–4)

f ' (–2–) ? f ' (–2+) 8 No existe f ' (–2)

La función es derivable en Á – {–4, –2}.

c) Analizamos el signo de x – 3 para definir la función por intervalos:

x + (–x + 3) = 3

x + x – 3 = 2x – 3

Así:

f (x) =

Derivamos:

f ' (x) =

f ' (3–) ? f ' (3+) 8 No existe f ' (3)

La función es derivable en Á – {3}.

d) Definimos la función por intervalos. Recordamos que |x | = .

Así:

f (x) =
x2 – x si x < 0

x2 + x si x Ó 0
°
¢
£

–x si x < 0

x si x Ó 0
°
¢
£

°
¢
£

f ' (3–) = 0

f ' (3+) = 2

0 si x < 3

2 si x > 3
°
¢
£

3 si x < 3

2x – 3 si x Ó 3
°
¢
£

–x + 3

xx

x – 3

3

°
¢
£

f ' (–2–) = –2(–2) – 6 = –2

f ' (–2+) = 2(–2) + 6 = 2

°
¢
£

f ' (–4–) = 2(–4) + 6 = –2

f ' (–4+) = –2(–4) – 6 = 2

2x + 6 si x < –4

–2x – 6 si –4 < x < –2

2x + 6 si x > –2

°
§
¢
§
£

x2 + 6x + 8 si x < –4

–x2 – 6x – 8 si –4 Ì x Ì –2
x2 + 6x + 8 si x > –2

°
§
¢
§
£

x = –4

x = –2

–6 ± 2
2

–6 ± √36 – 32
2

27

Page 51

6. Halla a y b para que f (x) sea continua:

f (x) =

Para los valores de a y b obtenidos, estudia la derivabilidad de f.

• Si x ? –1 y x ? 0: La función es continua, pues está formada por polinomios.

• En x = –1:

f (x) = (2x + a) = –2 + a

f (x) = (ax + b) = –a + b

f (–1) = –a + b

• En x = 0:

f (x) = (ax + b) = b

f (x) = (3x2 + 2) = 2

f (0) = 2

Por tanto, f (x) será continua si a = 2 y b = 2.

Para estos valores, queda:

f (x) = ; es decir: f (x) =

Derivabilidad:

• Si x ? 0: Es derivable. Además:

f' (x) =

• En x = 0:

f' (0–) = 2 ? f' (0+) = 0

La función no es derivable en x = 0.

Por tanto, es derivable en Á – {0}.

2 si x < 0

6x si x > 0
°
¢
£

2x + 2 si x < 0

3x2 + 2 si x Ì 0
°
¢
£

2x + 2 si x < –1

2x + 2 si –1 Ì x < 0
3x2 + 2 si 0 Ì x

°
§
¢
§
£

lím
x 8 0

lím
x 8 0+

lím
x 8 0

lím
x 8 0–

lím
x 8 –1

lím
x 8 –1+

lím
x 8 –1

lím
x 8 –1–

2x + a si x < –1

ax + b si –1 Ì x < 0
3x2 + 2 si 0 Ì x

°
§
¢
§
£

Para que sea continua, ha de ser
–2 + a = –a + b; es decir: b = 2a – 2.

°
§
§
¢
§
§
£

Para que sea continua, ha de ser b = 2.

°
§
§
¢
§
§
£

51

Page 52

7. Observando la gráfica de esta función f, estudia su derivabilidad. Halla si
existen f '(–4), f '(0), f '(3).

• f es discontinua en x = 1. Por tanto, no es derivable en x = 1.

En x = –2 observamos que f ' (–2–) ? f ' (–2+): tampoco es derivable.

Luego f es derivable en Á – {–2, 1}

• f ' (–4) = 0 porque en ese punto la función es constante.

f ' (0) = 0 porque en x = 0 la tangente es horizontal.

f ' (3) = –1 porque –1 es la pendiente de la recta que pasa por (1, 2) y (3, 0):

m = = –1
2 – 0
1 – 3

2

2

52

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