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TitleJee 2014 Booklet5 Hwt Solutions Integral Calculus 1
Tags Trigonometric Functions Logarithm Triangle Geometry
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Page 1

Vidyamandir Classes

VMC/Solutions/Integral Calculus-1 43 HWT-5/Mathematics

Solutions to Home Practice Test/Mathematics

1.(C)
   

   
 

1

1
1

n

n n n

n sec x sec x tan x dxn cos n sec xdx
I dx

sin x sec x tan x sec x tan x






  

    
Put  sec x tan x t  and  sec x sec x tan x dx dt 


   1

1 1

1

n

n n n n

ndt cos x
I

t t sec x tan x sin x


  
   

 
2.(CD)  2 3 5 5 2 3tan x . tan x . tan x dx tan x tan x tan x dx    [Using  5 2 3tan x tan x x  ]

1 1 1
5 2 3

5 2 3
   log sec x log sec x log sec x k

1 2 1 3 1 52 3 5log sec x . sec x . sec x k  


1 1

2 3
a , b
 
  and

1

5
c   0ab bc ca   and 3 3 3 1 1 13       a b c a b c

3.(D)    13 2 22 3 6 tt t t t tI x x x x x dx    
   13 1 2 1 1 22 3 6 tt t t t tx x x x x x dx      
   13 1 2 1 1 3 22 3 6      

t
t t t t t tx x x x x x dx

Put  3 22 3 6t t tx x x u   and  3 1 2 1 16 t t tt x x x dx du    


     

 

3 21 1 1 2 3 6

16 6 1
6 1

t t tt t x x xu du u
I

t t
t

t

  
  

 
  



5.(D) Put  x x xxe t , e xe dx dt   to get :
 
   

     222
1

      
x

x
x

e x dx dt
sec t dt tan t tan xe c

cos tcos xe

6.(B)
 

 2
1

1 x

x dx
I

x xe





 . Put xxe t to get  1xe x dx dt 


 

 
     2 2 2

1

11 1 1

t t dtdt dt dt
I

t tt t t t t

      
     

 
     2 2

1 1

1 11 1

t t dt dt dt dt
dt

t t t tt t

       
      

    1 11
1 1 1

t
log t log t c log c

t t t
 

           

1

1 1

x

x x

xe
log c

xe xe

 
      

7.(B)
  2 1

x

x x

e dx
I

e e


  . Put
xe t to get: xe dx dt


   

   
   

2 1 1 1

2 1 2 1 1 2

                


  

t t dtdt
I dt

t t t t t t

    1 11 2
2 2

x

x

t e
n t n t c n c n c

t e

   
               

Integral Calculus-1 HWT - 1

Page 2

Vidyamandir Classes

VMC/Solutions/Integral Calculus-1 44 HWT-5/Mathematics

8.(B)
 

1

5 4
I dx

x x


  . Put
24x t  to get 2dx t dt


 

   1 122
2

2 2 2 4
11

t dt dt
I tan t c tan x c

tt t

       
 

9.(D)    x x xe sec x e . log sec x tan x dx e log sec x tan x sec x dx          
     x xde log sec x tan x log sec x tan x dx e . log sec x tan x c

dx
           
 xe . log sec x tan x c   

10.(A)  
1 1

1 1 1
1 1

2 2
2

2

 
  

 

   
           
  

sin x cos x
I dx sin x cos x dx sin x dx

sin x cos x

p

p p

14 1sin x dx
p

   
  . Put

2x sin t to get 2dx sin t dt


4 4

1 2 2 2
 

    
   

t
I sin t dt t sin t dt sin t dt

p p

4 2 2 2 2 2 4 2
2

2 2 2 4 2

t cos t cos t cos t sin t cos t
dt t cos t c

p p p
      

         
   

 
 

 1 1
1 22 2 1 4 2

1 2 2 1 1
4 2

               
 

xx x
sin x x c sin x x x x x c

p p p

5.(B) 2
1 1

2

   
    

     ex e x
log e log e

log e log e dx dx
x x log e log x log e log x    

1 1 1

1 2


  dxx log x log x
Let log x k


   

1 1 1 1 1

1 2 1 2
k

k
e dk dk

k k k ke

 
       

1

2

k
log

k

 
   

  f x k log x  
 

0

1 0
form

0

  
 
 x

log x
lim

x
 from L.H. rule

0

1
1

1x
lim

x




6.(D) Let 23x t 


  22

2 2 1 1
2

2 111

t dt dt t
log

ttt t

  
       

3 1

3 1

x
log

x

 


 

7.(CD) Let 3 21 x t 


3 23 2

2 2

331 1

 
 

 
  

xdx dt dt

xx t
 12

3
cos t

1 32 1
3

cos x    
 

But 1 31cos x  can also be written as  1 3 2sin x    1f x sin x and   3 2g x x x x 
8.(B)  2 2 2 2 2 2x x x x x x x xI e dx e e log dx e log I       

2

1 2

x x. e
I c

log
 


9.(B) Form perfect square in denominator

10.(B) Let xe k  x x xe sine dx sink dk cos k cose     

Integral Calculus-1 HWT - 2

Page 5

Vidyamandir Classes

VMC/Solutions/Integral Calculus-1 47 HWT-5/Mathematics

8.(B) Let
 2

2

3 3 1

x
I dx

x x x




  
Putting 21 2x t , dx t dt   , we get :

2

2

4 2 2

1
1

1
2 2

1 1
3

tt
I dt dt

t t
t

t

 
     

   
  

 

 

 
1 1

1
2 2

3 3 3 3 1

t
xttan C tan C
x

 

 
   

     
      

 

9.(B)
 
 

2
2

4 2 2

1 11

1 1

xx
dx dx

x x x




  

 2
2 2

2

1 1

21
2

x dt
dx

t
x

x


 

 
  

 

  where
1

t x
x

 

2
1 11 1 1

2 2 2 2

t x
tan C tan C

x
               

10.(A) Putting,  1rl x t  and
     2

1
r

dx dt
xl x l x . . . .l x

 , we get :

     2 3
1

1
r

dx
. dt t C

xl x l x . . . .l x
     1rl x C 

1.(B)

2.(A) Putting 1nx t  and 1nn x dx dt  , we get :

   
1 1 1 1 1 1

1 11n
dx dt dt

n t t n t tx x

 
       

1 1 1

1

n

n

t x
log C log C

n t n x

  
          

3.(B) Putting x t and
1

2
dx dt

x
 , we get :

2 2
2

x t x
ta a adx a dt C C

log a log ax
     

4.(BC)
1

5 4
dx

cos x

   
2

2 2

1
2

5 1 2 4 1 2

x
tan

dx
tan x tan x




   2
2

9

dt

t


 , where 2
x

t tan

1 1 22 2

3 3 3 3

tan xt
tan C tan C 

  
     

   

Hence,
2

3
A  and

1

3
B 

Integral Calculus-1 HWT - 5

Page 6

Vidyamandir Classes

VMC/Solutions/Integral Calculus-1 48 HWT-5/Mathematics

5.(AC)
 
   2

1
1

1

1

log
log x log x x

dx dx
x x x x

 
    

  

2

1
1

1
1

log
x log t

dx dt
t

x
x

 
 

   
 
 

 

  , where
1

1t
x

 

 
2

21 1 1
1

2 2
log t C log C

x

  
        

  
 

21
1

2
log x log x C      

      2 21 1 2 1
2

log x log x log x . log x C         
      2 21 11 1

2 2
log x log x log x . log x C      

6.(A)
1

1

2 2

1 2

21 1

x tan x x
dx tan x . dx

x x




 
 

1 2 2
2

1 1
2 1 2 1

2 1
tan x . x . x dx

x

     
 

2 1

2

1 1
2 1 2

2 1
x tan x dx

x


 
   
  


2 1 21 1x tan x log x x C        

 
Hence,   1f x tan x and A = 1.

7.(C)

8.(BD) Let
1

x

x

e
I x dx

e





Putting 21 xe t  i.e.  2 1x log t  , we get :

   
2

2 2
2

2 1 2 1 2
1

t
I log t dt t log t dt

t

 
     

  
   2 2

1
2 1 2 1

1
t log t dt

t

   
      

    


 2 12 1 2
1

t
t log t t log C

t

  
        

1 1
2 1 4 1 2

1 1

x
x x

x

e
x e e log C

e

        
   

Hence,    2 4 2 2f x x x    and   1 1
1 1

x

x

e
g x

e

 


 

9.(C) Putting sin x t in the given integral, we get :

     22 2 2 2
2 4 2 4

1 1 1 2t t t t
dt dt

t t t t

    


  

 1
2 2

2 6 2
1 6

1
dt t tan t C

tt t

        
 

   1 12 6sin x sin x tan sin x C    

10.(AD)
    2 22 2

1 1 1 1

3 1 41 4
dx dx

x xx x

 
  

    

1 11 1

3 6 2

x
tan x tan C   

Therefore,
1

3
A  and

1

6
B  

Page 10

Vidyamandir Classes

VMC/Solutions/Integral Calculus-1 52 HWT-5/Mathematics

9.(C)    
3

4 2 2 21 1
3

tan x
I tan x dx tan x . sec x dx sec x dx       

3

3

tan x
tan x x C   

10.(C)
 3

4 2 1

x x

x x

e e dx
I

e e

      
 


Put xe t to get
 2 2
4 2 2

2

1
11

11 1

dtt dt
t

I
t t t

t

 
 
  

   
 

2

2

1
1

1
1

dt
t

t
t

 
 
 
 
  
 

 .

Put
1

t u
t
  to get    1 12 1

x xduI tan u tan e e
u

     


1.(B)    3 2 4 5 4 5cos x sin x sin x cos x m cos x sin x    


23

41
 and

2

41
m   The given integral is

23 2 4 5

41 41 4 5

cos x sin x
dx dx

sin x cos x




 
23 2

4 5
41 41

x
log sin x cos x C   

2.(B) Differentiate on both sides to get   sin xf x
x



3.(D)
3 2 3 2

1 2

2
 

 
 

xdx
I dx

x x x x x
.

Put x t to get
2 3

2
2 4 1 4 1

1

t dt dt
I t C x C

tt t
       


 

4.(B)
1

2
2

cosec x dx log tan x C      
1

2
f x log x and  g x tan x

5.(D)
2

4 4 4

2 2

1

sin x tan x .sec x dx
I dx

cos x sin x tan x
 

  
Put tan x t to get

4

2

1

t dt
I

t



Put 2t u to get    1 1 221

du
I tan u tan tan x

u

   
   

2f x tan x

6.(D)

 
  2 24 2

1 2 22 4 2 3 2
2

1 1
11 11

1 11 1 1

x dxx x dx xx x
I dx

x x x x x x
x x

  
         
       
 

  

Put
1

x t
x
  to get

2 2

1 2

21 1

t dt t dt
I

t t
 

 
 

Put 2 1t u  to get
4 21 1

2

du x x
I u C C

xu

 
    

7.(B)
 
     

2 2

2 22 2 2

1 1 2

1 1 1

 
  

  
  

x dx x x dx
I dx

x x x

1
2

1

1
tan x C

x

  


Integral Calculus-1 HWT - 9

Page 11

Vidyamandir Classes

VMC/Solutions/Integral Calculus-1 53 HWT-5/Mathematics

8.(A) Put 2x u  to get
2 2

2

4 8 4

x dx u
I

x x u


 

    du

 2 12 2
1 2 1

2 4
2 2 24 4

u du u
du log u tan C

u u

        
   

 2 11 24 8
2 2

x
log x x tan C

 
     

 

9(C) Put 1tan x u  to get

 1
2

2
2

1
1

1
tan x ux xI e dx e tanu tan u du

x

   
      
 

  12       u u tan xe tanu sec u du e .tanu C e .x C

10.(C)

 2 2 22 3 3 2 3 17
2 4

dx dx dx
I

x x x x
x

  
           
   

   1 12
3

2 32
17 1717 3
24 2

 

 
         

           


x

dx x
sin C sin C

x

1.(D)
 2

2 2

2 24 1 sin xcos x
I dx . sin x . cos x dx

cot x tan x cos x sin x

    
   

 
 
 

 
2 2 21 2 1 1 1

2
2 2 2 2

cos x t t
. sin x dx . dt log t C

cos x t

  
       

 
 

 2 21
2

2 4

cos x
log cos x C  

2.(D)
   2 2

2

5 4 5 1 4 1

dx dt
I

cos x t t
 

     , where 2
x

t tan
 

  
 

1
2

2 1
2

3 3 29

dt x
tan tan C

t

       
   

3.(B)
   1

2

cos x sin x cos x sin xcos x dx
I . dx

sin x cos x sin x cos x

  
 

  
1 1

1
2 2

            
cos x sin x

dx x log sin x cos x C
sin x cos x

4.(D)
  

 1 1
2 22 2

1 1 1 1 1

3 3 2 21 41 4

dx x
I dx tan x tan C

x xx x

             
       

5.(A)  
2

21

sin x
I fog x cos x dx cos x dx

sin x
 

  . Put sin x t to get

   
2

1 1
2 2

1
1

1 1

t
I dt dt t tan t C sin x tan sin x C

t t

           
   

6.(D)  1 1 1
1

ex
e

I log e dx dx
x x log x

  
   1e elog log x C  

7.(A)  3 2sec xI e . sec x sin x cos x sin x sin x . cos x dx     2sec xe .sec x tan x sec x sec x . tan x tan x dx   
  2sec xe sec xtan x sec x tan x sec x sec x . tan x dx       sec xe sec x tan x C  

8.(C)           f x g x f x g x dx
               f x g x f x g x dx g x f x g x f x dx                    f x g x g x f x  

9.(C)     1 2xf x e x x    . Since 0xe  for all x R
       0 1 2 0 1 2f x x x x ,       

10.(B)
2 2

2 2 2

1
1 1

1 1 1 2

  
             
  

sin x sec x
I dx dx dx

sin x sin x tan x

 11 2
2

x tan tan x C  

Integral Calculus-1 HWT - 10

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