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TitleFormulario de Matemáticas completo..
TagsMathematical Analysis Derivative Equations Mathematical Objects Special Functions
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3. Funciones Trigonométricas.

3.1. Relaciones entre Funciones Trigo-

nométricas.

csc(A) =
1

sen(A)
sen2(A) + cos2(A) = 1

sec(A) =
1

cos(A)
sec2(A) − tan2(A) = 1

tan(A) =
sen(A)

cos(A)
csc2(A) − cot2(A) = 1

cot(A) =
cos(A)

sen(A)
=

1

tan(A)

3.2. Potencias de Funciones Trigonométricas.

sen2(A) = 1
2
− 1

2
cos(2A)

cos2(A) = 1
2

+ 1
2

cos(2A)

sen3(A) = 3
4

sen(A) − 1
4

sen(3A)

cos3(A) = 3
4

cos(A) + 1
4

cos(3A)

sen4(A) = 3
8
− 1

2
cos(2A) + 1

8
cos(4A)

cos4(A) = 3
8

+ 1
2

cos(2A) + 1
8

cos(4A)

sen5(A) = 5
8

sen(A) − 5
16

sen(3A) + 1
16

sen(5A)

cos5(A) = 5
8

cos(A) + 5
16

cos(3A) + 1
16

cos(5A)

3.3. Suma, Diferencia y Producto las Funcio-

nes Trigonométricas.

sen(A) + sen(B) = 2 sen
(

A+B
2

)

cos
(

A−B
2

)

sen(A) − sen(B) = 2 sen
(

A−B
2

)

cos
(

A+B
2

)

cos(A) + cos(B) = 2 cos
(

A+B
2

)

cos
(

A−B
2

)

cos(A) − cos(B) = 2 sen
(

A+B
2

)

sen
(

B−A
2

)

sen(A) sen(B) = 1
2

[

cos(A − B) − cos(A + B)
]

cos(A) cos(B) = 1
2

[

cos(A − B) + cos(A + B)
]

sen(A) cos(B) = 1
2

[

sen(A − B) + sen(A + B)
]

4. Funciones Hiperbólicas.

Seno hiperbólico de x = senh(x) =
ex − e−x

2

Coseno hiperbólico de x = cosh(x) =
ex + e−x

2

Tangente hiperbólica de x = tanh(x) =
ex − e−x
ex + e−x

Cosecante hiperbólica de x = csch(x) =
2

ex − e−x

Secante hiperbólica de x = sech(x) =
2

ex + e−x

Cotangente hiperbólica de x = coth(x) =
ex + e−x

ex − e−x

4.1. Relación entre las Funciones Hiperbólicas.

tanh(x) =
senh(x)

cosh(x)

coth(x) =
1

tanh(x)
=

cosh(x)

senh(x)

sech(x) =
1

cosh(x)

csch(x) =
1

senh(x)

cosh2(x) − senh2(x) = 1

sech2(x) + tanh2(x) = 1

coth
2
(x) − csch2(x) = 1

2

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Segundo.
Caso i. Ecuación de segundo orden.
La solución particular tiene la forma:

yp(x) = u1y1 + u2y2

donde:

u′1 =
−g(x)y2
W [y1, y2]

, u1 =



−g(x)y2
W [y1, y2]

dx

u′2 =
g(x)y1

W [y1, y2]
, u2 =



g(x)y1
W [y1, y2]

dx

Caso ii. Ecuación de tercer orden.
La solución particular tiene la forma:

yp(x) = u1y1 + u2y2 + u3y3

donde:

u′1 =
g(x)[y2y



3 − y3y


2]

W [y1, y2, y3]
, u1 =



g(x)[y2y


3 − y3y


2]

W [y1, y2, y3]
dx

u′2 =
g(x)[−y1y



3 + y3y


1]

W [y1, y2, y3]
, u2 =



g(x)[−y1y


3 + y3y


1]

W [y1, y2, y3]
dx

u′3 =
g(x)[y1y



2 − y2y


1]

W [y1, y2, y3]
, u3 =



g(x)[y1y


2 − y2y


1]

W [y1, y2, y3]
dx

Finalmente la solución general de la Ec.(13) se obtiene de sumar yh(x) y las yp(x) obtenidas por coeficientes indeterminados
y/o por variación de parámetros.

II. Transformada de Laplace L .

La transformada de Laplace de una función f(t) existe si f(t) es seccionalmente (por tramos) continua en [0,∞) y es de
orden exponencial.

L {f(t)} =
∫ ∞

0

e−stf(t)dt

una vez calculada la integral, representamos por F (s) a L {f(t)}.
Y en general: L {g(t)} = G(s), L {h(t)} = H(s), . . .

Propiedades de la Transformada de Laplace.

• La transformada de Laplace es lineal porque:

L {kf(t)} = kL {f(t)}
L {k1f(t) + k2g(t)} = k1L {f(t)} + k2L {g(t)}

donde: k, k1 y k2 son constantes.

• Transformada de una Derivada.

L {y} = Y (s)
L {y′} = sY (s) − y(0)
L {y′′} = s2Y (s) − sy(0) − y′(0)
L {y′′′} = s3Y (s) − s2y(0) − sy′(0) − y′′(0)

...

L {y(n)} = snY (s) − sn−1y(0) − sn−2y′(0) − · · · − sy(n−2)(0) − y(n−1)(0)

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• Primer Teorema de Traslación o de Desplazamiento:

L {eatf(t)} = F (s − a)

Primero identificamos el valor de a y se calcula L {f(t)} = F (s). Segundo se calcula F (s)




s=s−a, y aśı se cumple que

L {eatf(t)} = F (s − a).
• Función Escalón Unitario de Heaviside, denotada como U (t − a) o H(t − a).

H(t − a) = U (t − a) =
{

0, 0 ≤ t ≤ a;
1, t ≥ a.

• Función por partes en términos la función escalón unitario. Sea

f(t) =















f1(t) 0 ≤ t ≤ a
f2(t) a ≤ t < b
f3(t) b ≤ t < c
f4(t) t ≥ c

entonces: f(t) = f1(t)U (t) +
[

f2(t) − f1(t)
]

U (t − a) +
[

f3(t) − f2(t)
]

U (t − b) +
[

f4(t) − f3(t)
]

U (t − c)
• Segundo Teorema de Traslación:

L {f(t)U (t − a)} = e−asL
{

f(t)




t=t+a

}

Primero se identifica el valor de a y f(t). Segundo, se calcula f(t)




t=t+a
. Tercero se calcula L

{

f(t)




t=t+a

}

. Y aśı se tiene

que L {f(t)U a} = e−asL
{

f(t)




t=t+a

}

III. Transformada Inversa de Laplace L −1.

Sea F (s) la transformada de Laplace de alguna función f(t). Entonces, se dice que f(t) es la transformada inversa de
Laplace de F (s), y se denota con L −1{F (s)} = f(t).
• La Transformada Inversa de Laplace es Lineal porque:

L
−1{kF (s)} = kL −1{F (s)}

L
−1{k1F (s) + k2G(s)} = k1L −1{F (s)} + k2L −1{G(s)}

donde: k, k1 y k2 son constantes.

Propiedades de la Transformada Inversa de Laplace.

• Forma Inversa del Primer Teorema de Traslación.

L
−1{F (s − a)} = eatf(t)

• Forma Inversa del Segundo Teorema de Traslación.

L
−1{e−asF (s)} = f(t)





t=t−aU a

Primero identificar el valor de a y F (s). Segundo calcular L −1{F (s)} = f(t). Tercero evaluar f(t)




t=t−a y aśı se tiene que

L
−1{e−asF (s)} = f(t)





t=t−aU a.

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