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Titleformulario Calculo 2 integrales
TagsIntegral Mathematical Relations Mathematical Logic Mathematical Analysis
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n M O L f l f

m i lVOLUMEN 2
' i ¡ i i y

TERCERA EDICIÓN

Page 2

TOPICOS DE CALCULO
VOL. II

- INTEGRAL INDEFINIDA

- INTEGRAL DEFINIDA

• INTEGRALES IMPROPIAS

- APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

- COORDENADAS POLARES

- RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

- SUPERFICIES

MAXIMO MITACC MEZA - LUIS TORO MOTA

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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

Observación 3. Sean f ,g \[a - ,b ] R funciones continuas cuyas gráficas se
encuentran a un mismo lado del eje x, y además \g (x ) \ < ] / ( x )| , V x 6 [a; ó].
Sea S el sólido de revolución que se obtiene por la rotación en torno al eje x de la
región ü acotada por las curvas y = f ( x ) , y = g ( x ) y ¡as rectas verticales
x — a , x = b (en la fig. 4.26, solamente se muestra el caso 0 < g { x ) < / (x ) ) .
Como la sección transversal Sx obtenida por la intersección de S con un plano
perpendicular al eje x que pasa p or x G [a; b] es un anillo circular (Fig. 4.27),
entonces el área del anillo circular es

¿ ( S * ) = Tt { [ f (x) ]2 - [ g ( x ) ] 2} , x G [a; b ]

Luego, el volumen del sólido de revolución S resulta

[ g ( x ) ¡2] d x u

revolución es

- a v - r ¿) d x u
donde R es el radio m ayor del an illo circular y r es el radio m enor (fig. 4.26), S i
r = 0 , la fórm ula es la que se obtiene por el método del d isco circular.

Observación 4. Sean f ,g : [a;b] -> E funciones continuas cuyas gráficas se
encuentran en un mismo lado de la recta y = c y \ g ( x) — c| < \ f ( x ) — c\,
V x G |a; b]. Sea S el sólido de revolución que se obtiene al hacer rotar en torno
a la recta y = c la región Q 1imitada p o r ¡as gráficas de y = f (x), y — g { x ) ,
x a y x = b (Fig. 4.28).

/■'.monees el volumen del sólido S es

V -• J ( l / 'M - c ]2 - [g (x ) - c ]2} d x j u 3

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APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Observación 5. Si la región Q limitada por las gráficas de x = / ( y ) , x = g ( y )
r las rectas horizontales y = c , y = d gira alrededor de la recta vertical
x - k (Fig. 4.29), donde las gráficas de f , g están a un mismo lado del eje de
rotación y \ g ( y ) - k\ < |/ (y ) - k \ , V y 6 [c;d]. Entonces el volumen del
sólido de revolución obtenido es

v = (rc /c V ( y ) - k ] 2 - [ g ( y ) - k ^ d y ^ j u 3

E jem p lo 16. Calcu le el vo lum en del sólido generado por la rotación alrededor

del eje x de la región lim itada por las gráficas de y = e x, x = 0 , x = 1, y = 0 .
So lu c ión

l-a región se muestra en la figura 4.30. Ap licando el método del d isco (R - e x), ■
se obtiene

V = n f ( e x) 2 d x = n í e 2x d x = ^ ( e 2 - 1 ) u 3
J o J o 2

1 8 7

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SUPERFICIES

Por otro lado, A ( x ; y ; z ) pertenece al cilindro, entonces

2 y = x 2 (y)

D e (y ) y (/?) se obtiene y = 2, x — ± 2

S i se reemplaza m = ± 2 en (a ) se obtiene las ecuaciones de los p lanos
tangentes Qx: y + 2 = 2x y Q2: y + 2 = —2x

1. Considerando el plano tangente Qt : 2 x — y — 2 = 0, se tiene:

P0 E Qi =>2a — b — 2 = 0

P0 £ S => 2b = a 2

D e estas dos ecuaciones se obtiene a = 2 y b = 2

D ado que el ángu lo que form a la recta con el plano x y es 30°, entonces

l , __________ i;. - 1 1 _________
l l v í l l 2 + (6 + 2 )! + (c - 4 ) 2

Reem plazando el va lor de a - 2 y b = 2, se obtiene

1 | c - 4 | 2 V l 5
- = => C = 4 ± — - —
4 V 2 0 + (c - 4 ) 2 3

Luego, las ecuaciones de las rectas tangentes son

L x: P = ( 0 ; — 2 ;4 ) + t ^ l ; 2 ; ^ j , t £ R

¿ 2 : Q = ( 0 ; - 2 ; 4 ) + A ^ l ; 2 ; - ^ p ^ i A £ R

2. Considerando el plano tangente Q2: 2 x + y + 2 = 0, se obtienen las
soluciones:

¿ 3: P = ( 0 ; - 2 ; 4 ) + t ^ - l ; 2 ; ^ p j , t E R

L 4 : (2 = ( 0 ; - 2 ; 4 ) + A ^ — 1 ; 2 ; - ^ ) , A 6 R

2 V Í5
Los puntos de tangencia son (— 2; 2; 4 ± — -— )

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I. En cada uno de los siguientes ejercicios, d iscutir y graficar la superficie
representada por cada ecuación

TO PICO S D E C A L C U L O - V O L U M E N II

E JE R C IC IO S

II. E n cada uno de los ejercicios, calcule el vo lum en del só lido lim itado por las
superficies

III. Halle la ecuación de la recta L que pasa por P ^ O ; - 7 ; 3 ) y es tangente a la
superficie c ilindrica y = 5 - (x - 4 ) 2 . La recta L corta a la recta

W- P - (1; 1; 1) + t(0; 2; - 3 ) , t 6 M (dos so luc iones)

R. V\ Q = (0; -7 ; 3) + t(l; 12; -8 ) , t e R

L": R = (0; - 7 ; 3 ) + A ( l ; 4; 4), X 6 R

a) x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 = 3 6 b) x 2 + 4 y 2 + 4 z = 0

d) x 2 — y 2 — 4 z z = 4

í) x 2 + 9 y 2 = z 2

h) x 2 + 4 y 2 = 4 z 2 - 4 z + 1

j) x 2 + y 2 = 1 + z

I) y 2 + 1 6 x 2 = 6 4 - 4 z 2

c) x 2 — y 2 + 4 z 2 = 4

e) 4 x 2 + 8 y + z 2 = 0

g) 2 5 y 2 - x 2 - 9 z 2 = 0

i) x 2 — y 2 — 4 z 2 = 4

k) 1 6 x 2 - 9 y 2 - z 2 - 1 4 4 = 0

2) 8 z = x 2 + 4 y 2 , z = 1 R. (V 2 7 i ) u 3

R. ( 3 6 n )u 3

4) z — x 2 + 2 y 2 , x 2 + 2 y 2 + z 2 = 6 (dos soluciones)

x 2 y 2 z|z|
7) T + V -

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