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TitleCapitulo 1 - Modelado de Lineas de Transmision - 2011
TagsElectrical Resistance And Conductance Electric Current Alternating Current Inductance Transmission Line
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CAPITULO 1


MODELADO DE LINEAS DE TRANSMISION



1.1 INTRODUCCION

La línea de transmisión es el elemento más común de los que conforman las redes eléctricas. En
conjunto, estos elementos constituyen las arterias a través de las cuales fluye la energía eléctrica
desde centros de generación hasta centros de consumo. La transmisión de dicha energía puede
realizarse ya sea por corriente alterna (c.a.) o directa (c.d.), y de acuerdo al diseño de la línea
puede ser de transmisión aérea o subterránea. En el caso de la transmisión subterránea, esta
normalmente se realiza a través de cables de alta tensión, cuyo uso se ha venido incrementando
durante las últimas décadas, debido a cuestiones de confiabilidad, estética y medio ambiente.

Dependiendo del nivel de voltaje al cual se realiza la transmisión de energía eléctrica, se tiene
clasificadas a las redes en tres categorías: transmisión, subtransmisión y distribución.

En México y otros países, los niveles de voltajes desde 115 kV o mayores son considerados como
de transmisión. Cuando se opera con voltajes de 34 hasta 115 kV se dice que la red es de
subtransmisión. Por último, niveles de tensión menores a 34 kV están relacionados con redes de
distribución.

Por otro lado, excepto en pocas situaciones, la transmisión de energía eléctrica es aérea, de modo
que el aislante común entre conductores sea el aire circundante a los conductores, además de que
los dispositivos de generación y de transporte se diseñan para que operen con corriente alterna
trifásica.

En base a esto, se tendrá como objetivo el desarrollar un modelo matemático que represente el
comportamiento de la línea de transmisión aérea de corriente alterna y trifásica. Este modelo se
caracteriza por cuatro parámetros principales:

Resistencia serie
Inductancia serie
Conductancia en derivación
Capacitancia en derivación.


Primeramente, se desarrolla el modelo de los parámetros serie y posteriormente, se obtienen los
correspondientes al efecto en derivación.

Aspectos como la transposición de líneas y obtención de modelos monofásicos desacoplados son
analizados posteriormente.

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1.2 IMPEDANCIA SERIE DE LINEAS DE TRANSMISION

Los dos parámetros serie de la línea de transmisión aérea se analizan en conjunto, aunque
previamente se mencionarán algunos conceptos concernientes a la resistencia.

1.2.1 Resistencia de la Línea

La resistencia en conductores de una línea es causa de las pérdidas por transmisión, las cuales
están dadas por la expresión I2R, donde I es la corriente que fluye a través de conductor y R es la
resistencia del mismo. Estas pérdidas tienen que ser mínimas, lo cual depende de un diseño
adecuado de la línea, tomando en consideración factores como el calibre de conductores, número
de estos por fase, tipo de material e influencia del medio ambiente, entre otros.

1.2.1.1 Resistencia de Corriente Directa

La resistencia de c.d. se caracteriza por tener una densidad de corriente distribuida
uniformemente en toda la sección transversal del conductor, la cual puede calcularse mediante la
expresión siguiente:


Ω=
A
l

R
ρ

0 (1.1)


donde:

ρ = resistividad del material conductor (Ω-m)
l = longitud del conductor (m)
A = área efectiva de la sección transversal del conductor (m2)

Si se utiliza el sistema inglés, en lugar del métrico decimal, entonces la longitud y área del
conductor estarán dadas en ft y ft2, respectivamente. Sin embargo, puede usarse cualquier sistema
congruente de unidades, de modo que resulte que la unidad de longitud esté dada en kilómetros o
millas, que es lo más usual.

El estándar internacional de conductividad es el cobre recocido. El cobre comercial estirado en
frío tiene un 97.3% y el aluminio un 61% de la conductividad estándar del cobre recocido. ρ es
igual a 1.77 ×10-8 -m (10.66 -cmil/ft) para el cobre estirado en frío a 20ºC. Para el aluminio a
20ºC, ρ es igual a 2.83 ×10-8 -m (17.00 -cmil/ft). Un circular mil (cmil) es el área de un
círculo que tiene un diámetro de 1 mil (10-3 pulgadas); el área en mm2 es igual al área en cmil
multiplicada por 5.067×10-4.

Además, la resistencia de c.d. de conductores trenzados es mayor que el valor calculado mediante
la ecuación (1.1), debido a la colocación en espiral de los filamentos individuales, la cual los
hace más largos. Para cada milla en el conductor, excepto en el del centro, la corriente en todos
los filamentos fluye a través de una longitud mayor. El incremento en la resistencia, debido al
trenzado, se estima en 1% para conductores de tres filamentos y del 2% para conductores
concéntricamente trenzados.

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“corrientes de fuga” describiendo una trayectoria de las fases a tierra. Principalmente, estas
corrientes fluyen a través del aislador hacia la torre, siendo función de la eficiencia del aislador,
la cual varía significativamente con el calor, humedad atmosférica, contaminación y salinidad del
ambiente, entre otros factores. Por esta razón, obtener un modelo matemático representativo de
este fenómeno, resulta una tarea compleja. Por otro lado, es común despreciar este efecto de
corrientes de fuga, debido a que representan un porcentaje muy pequeño con respecto a las
corrientes nominales de la línea.

1.3.2 Capacitancia Monofásica

A partir de la ecuación de teoría de campo eléctrico:


2
02 r

q
V/m (1.45)


donde 0 = 8.854×10

-12 F/m, q es la carga en Coulombs y r es la distancia, en metros, de la carga
al punto en el cual se mide el campo eléctrico. De acuerdo a la Figura 1.13, la diferencia de
potencial entre los puntos 1 y 2 está dada por:


V
D

D
nl

q
V

1

2
12 2

(1.46)


donde es la permitividad del medio circundante.









Figura 1.13 Esquema para analizar la caída de potencial entre dos puntos.


A partir de la ecuación (1.46), puede encontrarse la expresión para una línea monofásica, la cual
se representa por la Figura 1.14.









Figura 1.14 Línea monofásica para el análisis de capacitancias.

D

bqaq

1

1D

2D 2

q

ar br

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La diferencia de potencial entre los dos conductores es la siguiente:


D
r

n
q

r
D

n
q

V bb
a

a
ab πεπε 22

+= (1.47)


y sabiendo que ba qq −= , la ecuación anterior se simplifica como sigue:


ba

a
ab rr

D
n

q
V

2

2πε
= V (1.48)


Por definición, la capacitancia es:


abV
q

C = F/ul (1.49)


substituyendo (1.48) en (1.49), y considerando que ba rr = ,


( )r/Dn
Cab

πε2
= F/m (1.50)


1.3.3 Capacitancia para Líneas de Transmisión

En esta sección, se presenta el método general para determinar capacitancias para una línea con
cualquier número de conductores, incluyendo hilos de guarda y considerando el efecto de tierra.

La Figura 1.15 muestra el esquema de cargas-imágenes, para considerar el efecto de tierra en el
cálculo de capacitancias. Con este método, los voltajes involucrados se determinan mediante la
ecuación siguiente:



=

=
n

j ij

ij
ji D

H
nlqV

1
2

1
επ

(1.51)


donde:

Hij = distancia entre el conductor i y la imagen del conductor j. Si i = j, Hii es la distancia
del conductor i a su propia imagen.
Dij = distancia entre los conductores i y j. Si i = j, Dii es el radio exterior del conductor i.
qj = carga del conductor j.

Note que:


12
12

10017975485.0
)10854.8(2

1
2

1
×=

×
=

−πεπ
=17.9755485×109 F-1 m = 17.97554848×106 F-1 km

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Las ecuaciones (1.126) y (1.127) representan al circuito de la Figura 1.22, en términos de los
parámetros de la línea de transmisión. Sin embargo, para poder obtener este modelo es necesario
aplicar la transformación de componentes simétricas a los modelos trifásicos de la línea. Esto es,
debe calcularse:


222120

121110

020100

2

2

2

21

1
1

111

1
1

111

3
1

zzz

zzz

zzz

aa

aa

zzz

zzz

zzz

aa

aaTZT

cccbca

bcbbba

acabaa

sabcs


Definiendo:


22

22
222222

11

11
111111

00

00
000000

;

;

;

y

z
zyz

y

z
zyz

y

z
zyz

c

c

c




Substituyendo valores:


dSenhzz c 000 (1.128)


dSenhzz c 111 (1.129)


dSenhzz c 222 (1.130)

Similarmente:


2
1

2
0

0

0 dtgh
z

y

c

(1.131)



2
1

2
1

1

1 dtgh
z

y

c

(1.132)



2
1

2
2

2

2 dtgh
z

y

c

(1.133)


Los circuitos correspondientes a las ecuaciones (1.128)-(1.133) son mostrados en la Figura
1.23.

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(a)










(b)










(c)


Figura 1.23 (a) Circuito de secuencia cero (0); (b) circuito de secuencia positiva (1);
(c) circuito de secuencia negativa (2), después de haber aplicado la
transformación de componentes simétricas al modelo trifásico de la línea
de transmisión.











r s 0sI

0z

roV0sV 2
0y

0rI

2
0y

r s 1sI

1z

1rV1sV 2
1y

1rI

2
1y

r s 2sI

2z

2rV2sV 2
2y

2rI

2
2y

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