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TitleApunte PUCV - Calculo Real y Vectorial en Varias Variables (Carlos Martinez)
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Page 2

,
Indice General

1 Cálculo diferencial

1 Espacios euclidianos
1.1 &pacios vectoriales de dimensión finita
1.2 Norma y distancia . . . . . . . ..
1.3 Producto interior y ortogonalidad.
1.4 La desigualdad de Cauchy-Schwarz
1.5 Propiedades de la norma .
1.6 El producto vectorial
1. 7 Problemas.........

2 Funciones de dos o más variables
2.1 Funciones reales y vectoriales
2.2 Rectas en el espacio JR3
2.3 Planos en el espacio 1K3

2.4 Gráficas en el plano
2.5 Superficies....
2.6 Otras superficies. .
2.7 Curvas de nivel . .
2.8 Superficies de nivel
2.9 Problemas.....

3 Elementos de topología
3,1 Vecindades y conjuntos abi~rtos ....... .
3.2 Puntos de acumulación y conJunt.os cerrados.
3.3 Regiones..
3.4 Sucesiones.
3.5 Problemas.

4 Límites y continuidad
4.1 Nociones básicas ..
4.2 Una condición necesaria
4.3 Algebra de límites.
4.4 Límites iterados .
4.5 Continuidad...

3

7

9
9

10
13
18
20
20
22

27
27
30
32
34
36
39
41
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49
49
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58
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65
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75
77

Page 162

164 CAPÍTULO 8. FUNCIONES IMPLÍCITAS E INVERSAS

con \7gj (Po) #- O pam j = 1,2, ... ,k Y \7f(Po) #- O, es necesaTÍo que existan
constantes).,j no nulas tales que:

(8.24)

Observación 219

l. Las constantes ).,1, ).,2, ... ,).,k se llaman multipZ.icadores de Lagrange.

2. Observe que si un punto Po satisface la condición de Lagrange, vale decir,
la Ecuación 8.24 junto con las condiciones de restricción dadas por las
Ecuaciones 8.23 esto no significa que ese punto deba forzosamente ser un
máximo o un mínimo. El determinar la naturaleza de tales puntos, llama-
dos también puntos críticos, es un problema que usualmente es enfocado
tanto desde un punto de vista geométrico como también físico. Aún cuan-
do un enfoque analítico t.ambién es posible, en general se prefiere alguno
de los dos primeros.

Ejemplo 220 Encontrar los extremos de f(x,y) = X2 + 12xy + y2 sobre la
circunferencia x2 + y2 = 4.

Solución. Sea g(x, y) = x2 +y2 - 4. Entonces según la proposición anterior,
para hallar los puntos críticos de la función f bajo la condición de restricción
g(x,y) = O, debemos resolver el sistema:

\lf(x,y) = )"\7g(x,y); g(x,y) =0.

Esto es:

2x + 12y = 2x)., }
12x+ 2y = 2y).,
x2 +y2 - 4 = O

x+6y = x)., }
6x+y = y).,
x2 +y2 - 4 = O

Sistema cuyas soluciones son:

Pl = (J2, J2)
P2 = (';2, -J2)

P3 = (-J2, J2)
P4 = (-J2,-J2),

Ahora, para determinar su naturaleza, utilizaremos el criterio de la segunda
derivada. Sin embargo, la función a la cual hay que calcularle la segunda deriva-
da es:

h(x) = f(x,y(x)),

en donde y = y(x) es la función implícita determinada por la relación
g(x,y) = O. La existencia de tal función implícita, en una vecindad de ca-

da uno de los puntos encontrados queda garantizada ya que 8g (Pk) #- O para
ay

k = 1,2,3,4.

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8.3. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 165

Ahora como dh = f}1 + 'll.. t!J¿ se tiene:
dx OX Oil dx'

=

= (8.25)

Por otro lado, derivando ambos lados de la ecuación ,z;:l + Ji = 4, obtenemos:

dy
2x + 2y d-x = O ~

dy
x +y dx = O. (8.26)

De donde:

dy x
dx y

Volviendo a derivar la Ecuación 8.26. se tiene:
I

De donde:

Reemplazando en Ecuación 8.25, se obtiene:

Ahora, es fácil ver que ei signo de á2~ eb negat.ivo para los puntos PI y P4 .
dx

Esto implica que estos puntos corresponden a máximos locales. Además

En cambio el signo es positivo para los puutos P2 y P3 . Esto significa que
son mínimos locales. En efecto:

f(P2 ) = f(P3) = -20.
Este procedimiento en general es largo y cuando hay más variables puede resul-
tar realmente engorroso. Esta es la razón por la cual usualmente se recurre a

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ÍNDICE DE MATERiAS

forma cuadrática, 25, 105, 109
forma diferencial, 226
función

continuidad de una, 77
de variable real, 27
derivada de una, 116, 124
diferenciabilidad de una, 116
diferencial total de una, 117
extremos de una, 101
gradiente de una, 138
Holder continua, 89
límite de una, 65
localmente lipschitziana, 78
máximo de una, 101
mínimo de una, 101
puntos críticos de una, 102
puntos de ensilladura de una.

102
Riemann integrable, 188
uniformemente continua, 89
vectorial, 27

funciones continuas
álgebra de, 81
clases de, 81
compuesta de, 81

Oreen
fórmula de, 234
forma vectorial del teorema de,

241
Primera identidad de, 240
Segunda identidad de, 240

Hessiano
criterio del, 104, 105, 109

hipérbola
ecuación de una, 35

hiperboloide
de dos hojas, 38
de una hoja, :17

identidad de Jacobi, 26
identidad de polarización, 2:3
integral

área definida por una, 189
de línea, 226

de superficie. 249
de trayectoria, 243
impropia, 217
iterada, 192

325

longitud definida por una, 243
múltiple, 187
superficie definida por una, 249
volumen definido por una, 189

límites
condición necesaria. i2
iterados, 75

la divergencia, 146, 253
la ecuación de onda, 132
Lagrange, 96

multiplicadores de, 164
Laplace, 96

la ecuación de, 96
ley de los senos, 21
ley del paralelógramo, 22
limites

álgebra de, 74

métrica, 22
momento de inercia, 212

norma, 10, 20

parábola
ecuación de una, 35

paraboloide
de revolución, 38
elíptico, 38
hiperbólico, 39

plano
distancia de un punto al, 33,

169
eeuación cartesiana del, 32, 47

planos
ortogonales, .3a

planos, intersección de do..'l, 34
poligonai, 56
producto interior, 15. 18

propiedades del, 19
producto triple. 21
producto vectorial, 20. 21

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326

propiedades deL 21
punto

crítico, 102
de acumulación .. 05:3
de ensilladura, 39
frontera, 62
interior, 50, 62

recta
ecuaCIón cartesiana de IR, 30
ecuación pammétrica de la, ."E
ecuación vcetorial de una, ·í 7
paralela a un plano, :n
perpendicular a un piano. 3:3

región, 56
regla de la cadena, 1a5, 137

segmento lineal, S6
sucesión

convergente, S9
de Cauchy, .59
definición de, 058
límite de una, 58, 59
subsllcesión de una, :jCj

superficie
área de una, 249
de niveL 44
integral de, 249
orientable. 247
plano tangente a una, 140
vector norma a una, 140

Taylor
fórmula en una variable. 98
fórmula en varias varia-DiESe 98
serie de, lOU

Teorema
de Bernou])í, 95
de Bolzano Weierstrass. 55, 60
de Brouwer, 90
de Enlace, 79
de f'uhiní, 190, ]95
de Gauss, 253
de Green en el plano, 233. 241
de la divergencia, 25:3
de la función implícita. 149

iNDlCE DE IvIATERL4.S

de la función inversa, 157
de Stokes, 2.'54

~rayectorias ortogonales, 146

'Vecindad
abierta, 49
agujereada o punteada, 49

vectores
ort.ogonales, 17, 22
producto interior de, 18
producto triple, 21
producto yeetoria! de. 20, 21
proyección ortogonal, 16

volumen
de la esfera, 204
de un elipsoide, 209
de un paralelepípedo, 25

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