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unidad I

dgep 167

Funciones matemáticas

Funciones exponenciales

El concepto de potencia se ha ampliado considerablemente desde que estudiaste por
primera vez las potencias de exponente natural en la Escuela Básica; ahora podemos
calcular potencias de exponente racional.

Las ampliaciones sucesivas se han realizado de manera que siguen teniendo validez
las siguientes propiedades de las potencias.

Propiedades de las potencias
Si a y b son números reales positivos y s y t números racionales, se cumple:

as ∙ at = as+t (a ∙ b)s = as ∙ bs (as)t = as∙t = as–ta
s

at
as
bs

=
sa

b

Estas propiedades se aplican en numerosas situaciones.

Ejemplo 84: Resuelve las ecuaciones siguientes

a) 6x = 216

d) 2x‒1 + 4x‒2 = 3 e) 5x‒2 + 5x + 5x+2 = 651

= 729b) 9
x‒2

3x+2
c) 31‒x 2= 127

3x + 3y = 90
3x+y = 729

f)

a) 6x = 216 ⇒ 6x = 63 ⇒ x = 3

d) 2x‒1 + 4x‒2 = 3 ⇒ 2x‒1 + (22)x‒2 = 3 ⇒ 2x‒1 + 22x‒4 = 3 ⇒ 2x‒1 + 2‒2 x 22x‒2 = 3

9x‒2
3x+2

32x‒4
3x+2

(32)x‒2
3x+2

= 729 ⇒ = 36 ⇒ = 32x‒4‒(x+2) = 3x‒6 = 36 ⇒ x ‒ 6 = 6 ⇒ x = 12 .b)

1
27 ⇒ 3

1‒x 2 = 3‒3 ⇒ 1 ‒ x2 = ‒3 ⇒ x2 = 4 ⇒ x = ± 2.c) 32‒x
2 =

Resolución:

Si sustituimos 2x‒1 por z, obtenemos la ecuación que es una ecuación de
segundo grado cuyas soluciones son z = ‒6 y z = 2.

Esto conduce a dos ecuaciones: 2x‒1 = ‒ 6 que no tiene soluciones reales y 2x‒1= 2 que
tiene solución real x=2. Luego la ecuación dada tiene una única solución x=2.

z + = 34
z2

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Cálculo Diferencial

168 uas

e) 5x‒2 + 5x + 5x+2 = 651 ⇒ 5x‒2 + 25 x 5x‒2 + 54 x 5x‒2 = 651 ⇒ 651 x 5x‒2 = 651 luego se
obtiene 5x‒2 = 1 que conduce a x ‒ 2 = 0 ⇒ x = 2.

f) En este caso se trata de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, tene-
mos dos posibilidades para proceder:

1ra. Lo convertimos en un sistema cuadrático mediante las sustituciones 3x=u , 3y=v:

Este se reduce a una ecuación cuadrática mediante

una sustitución u = 90 ‒ v ⇒ u ∙ v = (90 ‒ v) ∙ v = 90v ‒ v2, luego se obtiene la ecuación
90v ‒ v 2 = 729 que tiene las soluciones v = 9 y v = 81 de las que resulta para u = 81 y u = 9.

Volviendo al sistema original obtenemos 3y = 9 ⇒ y = 2 y 3y = 81 ⇒ y = 4 y también
3x = 81 ⇒ x = 4 y 3x = 9 ⇒ x = 2. Luego para el sistema tenemos las soluciones x = 4 ,
y = 2 y también x = 2 , y = 4.

2da. Observamos que la segunda ecuación significa 3x+y = 36 ⇒ x + y = 6 y entonces
se sustituye esta relación en la primera ecuación:

3x = 36‒x = 90 ⇒ 32x + 729 = 90 . 3x que con la sustitución 3x = z se convierte en:
z2 ‒ 90z + 729 = 0 que es la misma ecuación cuadrática anterior y, por tanto, conduce

a las mismas soluciones.

La figura 1.81 muestra una represen-
tación de la gráfica de la corresponden-
cia:



esta gráfica ilustra que la función así
definida no es continua, en efecto deja
de estar definida en muchos puntos.

Si extendemos la correspondencia
a todos los racionales, los “huecos” no
pueden apreciarse a simple vista pero
igual existen.

Es decir, la función definida por la correspondencia mencionada no es continua. Sin
embargo, podría comprobarse que existe una función numérica continua definida para
todos los reales y que coincide con ella sobre Q. Esta última función es la función ex-
ponencial de base 2.



3x + 3y = 90
3x ∙ 3y = 729

u + v = 90
u ∙ v = 729



x →2x, x ∈ / n ∈N
n

100

Figura 1.81

18
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3

3

2

2
1
‒1‒1
‒2
‒3

1

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